Giải Nobel Kinh tế 2012 xuất phát từ một thuật toán đơn giản
Giải Nobel kinh tế năm nay được trao cho hai nhà kinh tế
nghiên cứu về một lĩnh vực khá lạ lẫm, nhưng không vì thế mà không thú vị.
Lloyd S. Shapley và Alvin E. Roth giải vì các nghiên cứu của hai ông
trong lĩnh vực lý thuyết “ghép đôi” và các phát minh về thiết kế thị trường có
khả năng ứng dụng rộng rãi trên khắp thế giới.
Vào năm 1962, khi Shapley mới 39 tuổi và đang là một nhà toán học làm ở Rand Corp, một think-tank đầy quyền lực của Hoa Kỳ, nơi chuyên nghiên cứu các dự án hạng nặng cho Bộ Quốc phòng của nước này, ông và một nhà kinh tế khác thuộc Đại học Brown là D. Gale đăng một công trình nghiên cứu có tên “tuyển sinh đại học và sự ổn định của hôn nhân” trên một tạp chí hạng thường của giới nghiên cứu toán học mang tên American Mathematical Monthly.
Tạp chí American Mathematical Monthly là một tạp chí hướng vào đại chúng, với cách viết đơn giản không cầu kỳ, không quá kỹ thuật, và thường không dùng để đăng tải những công trình nghiên cứu hạng nặng. Khi đăng công trình nghiên cứu này, Shapley chắc chắn dù nằm mơ cũng không tưởng tượng ra vào một ngày đẹp trời của 50 năm sau, ông được trao giải Nobel kinh tế nhờ các nghiên cứu khởi nguồn từ bài báo hết sức đơn giản đó.
Từ một thuật toán đơn giản
Quay trở lại năm 1962, tất cả những gì Shapley và Gale hình dung ra là một thuật toán (algorithm). Nghiên cứu này bắt đầu bằng một quan sát: Trong một số vấn đề của xã hội và kinh tế, tương tác giữa các cá nhân và các tổ chức không đơn giản bằng việc gặp gỡ mua bán hoặc ký hợp đồng như việc mua bánh mì ở cửa tiệm hoặc thuê thợ sửa ống nước.
Với các giao dịch kinh tế bình thường, người bán phát giá bán, người mua đến mặc cả, thỏa thuận giá, và nếu thỏa thuận thành công thì chuyện mua bán diễn ra. Shapley và Gale quan sát thấy một số trường hợp, thí dụ như việc tuyển sinh ở các trường đại học hay việc tìm kiếm bạn đời của mỗi người, giao dịch liên quan đến một dạng tương tác mà sau này các nhà kinh tế học gọi là “ghép đôi” (matching).
Trong trường hợp tuyển sinh đại học, giả sử một cách đơn giản là có 10 nghìn sinh viên đầu vào, và có 10 trường đại học, mỗi trường tuyển một nghìn sinh viên. Câu chuyện nghe đơn giản, nhưng nó phức tạp ở chỗ mỗi sinh viên lại có trình độ khác nhau và sở thích của các sinh viên này đối với các trường đại học cũng khác nhau. Như thế, giả sử một trường đại học bất kỳ nhận được 2 nghìn hồ sơ dự tuyển, thì họ phải loại đi bao nhiêu, và giữ lại bao nhiêu hồ sơ khi biết rằng sẽ có nhiều sinh viên chúng tuyển sẽ không tham gia vào học ở trường đó vì họ được nhận vào các trường khác mà họ thích hơn?
Tương tự như vậy, trong vấn đề hôn nhân, giả sử đơn giản là số đàn ông và phụ nữ đến tuổi kết hôn nhưng còn độc thân bằng nhau. Vấn đề “ghép đôi” sẽ như thế nào? Mỗi người đàn ông sẽ có những tiêu chuẩn riêng, dẫn tới chuyện anh ta có những người phụ nữ mà anh ta muốn “ghép đôi”. Tương tự như vậy, mỗi phụ nữ cũng có những người đàn ông mà họ muốn lập gia đình cùng. Rõ ràng không thể có chuyện một người đàn ông nào cũng được ghép với người phụ nữ tuyệt vời nhất trên thế gian (vì người đó chỉ có một), và ngược lại, không thể có chuyện phụ nữ nào cũng cưới được người chồng lý tưởng nhất (vì anh chàng đó cũng chỉ có một). Câu hỏi đặt ra là trong các trường hợp đó, làm thế nào để việc ghép đôi có thể thực hiện được một cách có hiệu quả?
Shapley và Gale đưa ra một khái niệm sau này được gọi là “ghép đôi ổn định” (stable matching). Một kết quả ghép đôi ổn định là trường hợp mà sau khi ghép đôi xong, không xảy ra chuyện nó có thể bị phá vỡ. Ngược nếu kết quả ghép đôi tạo ra hai cặp vợ chồng (A,m) và (B,n) nhưng A lại muốn sống với B, và B cũng muốn sống với A, tức là đối với cả hai người này nếu được ghép thành (A,B) thì sẽ tốt hơn cho cả hai, thì kết quả ghép đôi ban đầu sẽ bị coi là không ổn định. Theo Shapley và Gale, ghép đôi ổn định đòi hỏi không có bất cứ một cặp nào muốn phá vỡ kết quả ghép đôi đó để đến với nhau.
Đó là về mặt quan sát thực tiễn, nhưng làm thế nào để đưa ra một phương pháp ghép đôi mà kết quả của nó là ổn định, thậm chí tốt nhất – tức là kết quả vừa ổn định vừa tốt nhất trong số các kết quả ổn định? Shapley và Gale đưa ra một thuật toán mà sau này trở nên nổi tiếng với tên gọi thuật toán Gale-Shapley. Hai ông chứng minh được rằng nếu triển khai theo thuật toán này, thì mọi bài toán ghép đôi giống như các bài nêu trên sẽ luôn có lời giải là một kết quả ghép đôi ổn định và tốt nhất.
Hãy giả sử một trường hợp đơn giản là số nam và số nữ bằng nhau, theo thuật toán Gale – Shapley, cần tổ chức việc ghép đôi này thành nhiều vòng. Ở vòng một, mỗi chàng trai sẽ cầu hôn một cô gái mà anh ta thích nhất. Nếu cô nào có nhiều chàng cầu hôn sẽ phải thải loại gần hết và chỉ giữ lại một chàng mà cô ấy thích nhất (trong số các chàng cầu hôn với cô ấy). Chưa cô nào được phép cưới ngay, mà chỉ được ghi tên chàng trai đó vào danh sách dự bị.
Ở vòng hai, các chàng trai không được bất cứ cô gái nào đưa vào danh sách dự bị ở vòng 1 sẽ cầu hôn với cô gái mà anh ta thích thứ nhì. Các cô gái sẽ chọn trong số các chàng trai cầu hôn với mình ở vòng 2 và chàng trai mà cô ta đưa vào danh sách dự bị ở vòng một ra một chàng trai ưng ý nhất và ghi tên anh ta vào danh sách dự bị.
Vòng lặp này sẽ kết thúc khi cho đến khi tất cả các cô gái đều được cầu hôn. Khi đó, coi như quá trình tán tỉnh lẫn nhau kết thúc, và các cô gái buộc phải cưới chàng trai duy nhất trong danh sách dự bị của mình.
Dễ thấy là nếu làm đúng theo thuật toán này, kết quả của quá trình ghép đôi sẽ là một kết quả ổn định. Không khó để chứng minh. Hãy giả sử ngược lại là nếu có chàng John và nàng Mary không được cưới nhau nhưng John lại thích Mary hơn vợ của anh ấy. Nếu như thế, tên của Mary sẽ đứng trước tên của vợ John trong danh sách của chàng. Và như vậy John hẳn đã phải cầu hôn Mary ở một vòng lặp trước theo đúng thuật toán Gale-Shapley. Mà như thế, Mary hẳn đã loại thẳng cổ John khi cô chọn người vào danh sách dự bị của mình. Vì người trong danh sách dự bị của Mary chỉ có thể ngày càng tốt hơn khi các vòng lặp được triển khai, chắc chắn Mary phải thích chồng của cô ấy hơn John. Điều đó có nghĩa là sẽ không có một John và một Mary nào mà cả hai cùng thích đến với nhau hơn là với người bạn đời mà vòng lặp Gale-Shapley gán cho họ. Nói cách khác, kết quả của thuật toán này là một kết quả gán ghép ổn định.
Thuật toán này cũng áp dụng hoàn hảo cho trường hợp tuyển sinh đại học, mặc dù lập luận áp dụng cho bài toán tuyển sinh phức tạp hơn đôi chút. Bạn đọc ham tìm hiểu có thể tự mày mò theo thuật toán Gale – Shapley để tìm ra. Nét đẹp của thuật toán này là nó rất đơn giản và tạo ra một kết quả phi thường – thử tưởng tượng một xã hội mà tất cả mọi người đều tìm được người thích hợp nhất với mình, và không ai phải lựa chọn lại lần thứ hai.(còn tiếp)
Vào năm 1962, khi Shapley mới 39 tuổi và đang là một nhà toán học làm ở Rand Corp, một think-tank đầy quyền lực của Hoa Kỳ, nơi chuyên nghiên cứu các dự án hạng nặng cho Bộ Quốc phòng của nước này, ông và một nhà kinh tế khác thuộc Đại học Brown là D. Gale đăng một công trình nghiên cứu có tên “tuyển sinh đại học và sự ổn định của hôn nhân” trên một tạp chí hạng thường của giới nghiên cứu toán học mang tên American Mathematical Monthly.
Tạp chí American Mathematical Monthly là một tạp chí hướng vào đại chúng, với cách viết đơn giản không cầu kỳ, không quá kỹ thuật, và thường không dùng để đăng tải những công trình nghiên cứu hạng nặng. Khi đăng công trình nghiên cứu này, Shapley chắc chắn dù nằm mơ cũng không tưởng tượng ra vào một ngày đẹp trời của 50 năm sau, ông được trao giải Nobel kinh tế nhờ các nghiên cứu khởi nguồn từ bài báo hết sức đơn giản đó.
Từ một thuật toán đơn giản
Quay trở lại năm 1962, tất cả những gì Shapley và Gale hình dung ra là một thuật toán (algorithm). Nghiên cứu này bắt đầu bằng một quan sát: Trong một số vấn đề của xã hội và kinh tế, tương tác giữa các cá nhân và các tổ chức không đơn giản bằng việc gặp gỡ mua bán hoặc ký hợp đồng như việc mua bánh mì ở cửa tiệm hoặc thuê thợ sửa ống nước.
Với các giao dịch kinh tế bình thường, người bán phát giá bán, người mua đến mặc cả, thỏa thuận giá, và nếu thỏa thuận thành công thì chuyện mua bán diễn ra. Shapley và Gale quan sát thấy một số trường hợp, thí dụ như việc tuyển sinh ở các trường đại học hay việc tìm kiếm bạn đời của mỗi người, giao dịch liên quan đến một dạng tương tác mà sau này các nhà kinh tế học gọi là “ghép đôi” (matching).
Trong trường hợp tuyển sinh đại học, giả sử một cách đơn giản là có 10 nghìn sinh viên đầu vào, và có 10 trường đại học, mỗi trường tuyển một nghìn sinh viên. Câu chuyện nghe đơn giản, nhưng nó phức tạp ở chỗ mỗi sinh viên lại có trình độ khác nhau và sở thích của các sinh viên này đối với các trường đại học cũng khác nhau. Như thế, giả sử một trường đại học bất kỳ nhận được 2 nghìn hồ sơ dự tuyển, thì họ phải loại đi bao nhiêu, và giữ lại bao nhiêu hồ sơ khi biết rằng sẽ có nhiều sinh viên chúng tuyển sẽ không tham gia vào học ở trường đó vì họ được nhận vào các trường khác mà họ thích hơn?
Tương tự như vậy, trong vấn đề hôn nhân, giả sử đơn giản là số đàn ông và phụ nữ đến tuổi kết hôn nhưng còn độc thân bằng nhau. Vấn đề “ghép đôi” sẽ như thế nào? Mỗi người đàn ông sẽ có những tiêu chuẩn riêng, dẫn tới chuyện anh ta có những người phụ nữ mà anh ta muốn “ghép đôi”. Tương tự như vậy, mỗi phụ nữ cũng có những người đàn ông mà họ muốn lập gia đình cùng. Rõ ràng không thể có chuyện một người đàn ông nào cũng được ghép với người phụ nữ tuyệt vời nhất trên thế gian (vì người đó chỉ có một), và ngược lại, không thể có chuyện phụ nữ nào cũng cưới được người chồng lý tưởng nhất (vì anh chàng đó cũng chỉ có một). Câu hỏi đặt ra là trong các trường hợp đó, làm thế nào để việc ghép đôi có thể thực hiện được một cách có hiệu quả?
Shapley và Gale đưa ra một khái niệm sau này được gọi là “ghép đôi ổn định” (stable matching). Một kết quả ghép đôi ổn định là trường hợp mà sau khi ghép đôi xong, không xảy ra chuyện nó có thể bị phá vỡ. Ngược nếu kết quả ghép đôi tạo ra hai cặp vợ chồng (A,m) và (B,n) nhưng A lại muốn sống với B, và B cũng muốn sống với A, tức là đối với cả hai người này nếu được ghép thành (A,B) thì sẽ tốt hơn cho cả hai, thì kết quả ghép đôi ban đầu sẽ bị coi là không ổn định. Theo Shapley và Gale, ghép đôi ổn định đòi hỏi không có bất cứ một cặp nào muốn phá vỡ kết quả ghép đôi đó để đến với nhau.
Đó là về mặt quan sát thực tiễn, nhưng làm thế nào để đưa ra một phương pháp ghép đôi mà kết quả của nó là ổn định, thậm chí tốt nhất – tức là kết quả vừa ổn định vừa tốt nhất trong số các kết quả ổn định? Shapley và Gale đưa ra một thuật toán mà sau này trở nên nổi tiếng với tên gọi thuật toán Gale-Shapley. Hai ông chứng minh được rằng nếu triển khai theo thuật toán này, thì mọi bài toán ghép đôi giống như các bài nêu trên sẽ luôn có lời giải là một kết quả ghép đôi ổn định và tốt nhất.
Hãy giả sử một trường hợp đơn giản là số nam và số nữ bằng nhau, theo thuật toán Gale – Shapley, cần tổ chức việc ghép đôi này thành nhiều vòng. Ở vòng một, mỗi chàng trai sẽ cầu hôn một cô gái mà anh ta thích nhất. Nếu cô nào có nhiều chàng cầu hôn sẽ phải thải loại gần hết và chỉ giữ lại một chàng mà cô ấy thích nhất (trong số các chàng cầu hôn với cô ấy). Chưa cô nào được phép cưới ngay, mà chỉ được ghi tên chàng trai đó vào danh sách dự bị.
Ở vòng hai, các chàng trai không được bất cứ cô gái nào đưa vào danh sách dự bị ở vòng 1 sẽ cầu hôn với cô gái mà anh ta thích thứ nhì. Các cô gái sẽ chọn trong số các chàng trai cầu hôn với mình ở vòng 2 và chàng trai mà cô ta đưa vào danh sách dự bị ở vòng một ra một chàng trai ưng ý nhất và ghi tên anh ta vào danh sách dự bị.
Vòng lặp này sẽ kết thúc khi cho đến khi tất cả các cô gái đều được cầu hôn. Khi đó, coi như quá trình tán tỉnh lẫn nhau kết thúc, và các cô gái buộc phải cưới chàng trai duy nhất trong danh sách dự bị của mình.
Dễ thấy là nếu làm đúng theo thuật toán này, kết quả của quá trình ghép đôi sẽ là một kết quả ổn định. Không khó để chứng minh. Hãy giả sử ngược lại là nếu có chàng John và nàng Mary không được cưới nhau nhưng John lại thích Mary hơn vợ của anh ấy. Nếu như thế, tên của Mary sẽ đứng trước tên của vợ John trong danh sách của chàng. Và như vậy John hẳn đã phải cầu hôn Mary ở một vòng lặp trước theo đúng thuật toán Gale-Shapley. Mà như thế, Mary hẳn đã loại thẳng cổ John khi cô chọn người vào danh sách dự bị của mình. Vì người trong danh sách dự bị của Mary chỉ có thể ngày càng tốt hơn khi các vòng lặp được triển khai, chắc chắn Mary phải thích chồng của cô ấy hơn John. Điều đó có nghĩa là sẽ không có một John và một Mary nào mà cả hai cùng thích đến với nhau hơn là với người bạn đời mà vòng lặp Gale-Shapley gán cho họ. Nói cách khác, kết quả của thuật toán này là một kết quả gán ghép ổn định.
Thuật toán này cũng áp dụng hoàn hảo cho trường hợp tuyển sinh đại học, mặc dù lập luận áp dụng cho bài toán tuyển sinh phức tạp hơn đôi chút. Bạn đọc ham tìm hiểu có thể tự mày mò theo thuật toán Gale – Shapley để tìm ra. Nét đẹp của thuật toán này là nó rất đơn giản và tạo ra một kết quả phi thường – thử tưởng tượng một xã hội mà tất cả mọi người đều tìm được người thích hợp nhất với mình, và không ai phải lựa chọn lại lần thứ hai.(còn tiếp)
Chu Văn Keng St
